Question

【题目】在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且 ．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵点E，F分别为CD，CB的中点，∴BD∥EF，

∵菱形ABCD的对角线互相垂直，

∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，

∵AO平面POA，PO平面POA，AO∩PO=O，

∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．

（2）解：设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，

∴ ，

在Rt△BHO中， ，

在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO，

∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF平面BFED，∴PO⊥平面BFED，

以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则 ．

∴ ，

设平面PAB的法向量为 =（x，y，z），

则 ，取y=1，得 =（﹣ ），

∵BD⊥平面POA，AO∩BD=H，∴平面PAO的一个法向量为 =（﹣2，0，0），

设二面角B﹣AP﹣O的平面角为θ，

则cosθ= = = ，

∴二面角B﹣AP﹣O的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出BD∥EF，BD⊥AC，EF⊥AC，从而EF⊥AO，EF⊥PO，由此能证明BD⊥平面POA．（2）设AO∩BD=H，连接BO，以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣O的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．