Question

高二、一班4名同学与高二、二班3名同学共7人，组队参加某个比赛，组长为一班的甲同学，副组长为二班的乙同学．比赛结束后站成一排照相，试分别求出符合下列要求的排法种数．
（1）甲、乙两同学相邻；
（2）一班的同学与二班的同学间隔排列；
（3）最高的一位同学站中间，两边的同学由高到低（中间向两端方向）站列．

Answer 1

分析：（1）用捆绑法，先将甲、乙两同学合为一个“元素”，考虑甲、乙的顺序，再连同其余5人共6个“元素”任意排列，由分步计数原理，即可得答案；
（2）用插空法，一班4名同学之间有三个“空隙”，分析可得一班的同学与二班的同学间隔排列只能是二班的同学站在三个“空隙”位置上，由分步计数原理计算可得答案；
（3）先安排最高的同学站中间，在从剩余的6位同学中选出3位同学，由高到低站在其右侧，余下的三名同学由高到低站在其左侧即可，由组合数公式，计算可得答案．

解答：解：（1）先将甲、乙两同学合为一个“元素”，甲乙之间有A₂²种不同的顺序，
连同其余5人共6个“元素”任意排列，有A₆⁶种不同的情况，
由分步计数原理，共有

A

6 6

•

A

2 2

=1440种不同的排法．
（2）先将一班4名同学排好，有A₄⁴种情况，4名同学之间有三个“空隙”，
因此一班的同学与二班的同学间隔排列只能是二班的同学站在三个“空隙”位置上，有A₃³种情况，
由分步计数原理共有

A

4 4

•

A

3 3

=72种不同的排法．
（3）先安排最高的同学站中间，在从剩余的6位同学中选出3位同学，由高到低站在其右侧，余下的三名同学由高到低站在其左侧即可．
因此共有

C

3 6

=

6×5×4

3×2×1

=20种不同的排法．

点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握常见题型的处理方法，如本题中绑定法，插空法．