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    设是给定的整数，是实数，则

    的最大值是                   ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，
    1
    Sn
    =
    1
    an
    -
    1
    an+1
    ．
    （1）求证：数列Sn是等比数列；
    （2）设an与an+2的等差中项为A，比较A与an+1的大小；
    （3）设m是给定的正整数，a=2．现按如下方法构造项数为2m有穷数列bn：当k=m+1，m+2，…，2m时，bk=ak•ak+1；当k=1，2，…，m时，bk=b2m-k+1．求数列{bn}的前n项和为Tn（n≤2m，n∈N*）．

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    科目：高中数学 来源：2012年上海市普陀区高三年级第二次质量调研二模理科试卷（解析版） 题型：解答题

    设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点（）.

    （1） 当时，试写出抛物线上的三个定点、、的坐标，从而使得

    ；

    （2）当时，若，

    求证：；

    （3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：

    “若，则.”

    开展了研究并发现其为假命题.

    请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：

    ① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；

    ② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；

    ③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.

    【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

    【解析】第一问利用抛物线的焦点为，设，

    分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.

    由抛物线定义得到

    第二问设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

    由抛物线定义得

    第三问中①取时，抛物线的焦点为，

    设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

    ，

    则，不妨取；；；

    解：（1）抛物线的焦点为，设，

    分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

     

    因为，所以，

    故可取满足条件.

    （2）设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

    由抛物线定义得

       又因为

    ；

    所以.

    （3） ①取时，抛物线的焦点为，

    设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

    ，

    则，不妨取；；；，

    则，

    .

    故，，，是一个当时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

    ② 设，分别过作

    抛物线的准线的垂线，垂足分别为，

    由及抛物线的定义得

    ，即.

    因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以只要将这点都取在轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则

    ，

    而，所以.

    （说明：本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点，均为反例.）

    ③ 补充条件1：“点的纵坐标（）满足 ”，即：

    “当时，若，且点的纵坐标（）满足，则”.此命题为真.事实上，设，

    分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由，

    及抛物线的定义得，即，则

    ，

    又由，所以，故命题为真.

    补充条件2：“点与点为偶数，关于轴对称”，即：

    “当时，若，且点与点为偶数，关于轴对称，则”.此命题为真.（证略）

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年江苏省扬州市宝应县高三下学期期初测试数学试卷 题型：解答题

    （本题满分16分）已知数列中,, 为实常数）,前项和恒为正值，且当时,.

    ⑴ 求证:数列是等比数列；

    ⑵ 设与的等差中项为,比较与的大小；

    ⑶ 设是给定的正整数，.现按如下方法构造项数为有穷数列：

    当时，；

    当时，.

    求数列的前项和.

     

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    科目：高中数学 来源：江苏模拟 题型：解答题

    已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，
    1
    Sn
    =
    1
    an
    -
    1
    an+1
    ．
    （1）求证：数列Sn是等比数列；
    （2）设an与an+2的等差中项为A，比较A与an+1的大小；
    （3）设m是给定的正整数，a=2．现按如下方法构造项数为2m有穷数列bn：当k=m+1，m+2，…，2m时，bk=ak•ak+1；当k=1，2，…，m时，bk=b2m-k+1．求数列bn的前n项和为Tn（n≤2m，n∈N*）．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年江苏省连云港市东海县高级中学高三（上）期末数学模拟试卷（一）（解析版） 题型：解答题

    已知数列an中，a1=1，a2=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和Sn恒为正值，且当n≥2时，．
    （1）求证：数列Sn是等比数列；
    （2）设an与an+2的等差中项为A，比较A与an+1的大小；
    （3）设m是给定的正整数，a=2．现按如下方法构造项数为2m有穷数列bn：当k=m+1，m+2，…，2m时，bk=ak•ak+1；当k=1，2，…，m时，bk=b2m-k+1．求数列bn的前n项和为Tn（n≤2m，n∈N*）．

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