Question

设正实数x，y，z满足x²-3xy+9y²-z=0，则当

xy

z

取得最大值时，

3

x

+

1

y

-

9

z

的最大值为（　　）

• A．1
• B．

  9

  4

• C．-1
• D．3

Answer 1

分析：利用基本不等式和x²-3xy+9y²-z=0，求出z的最小值，确定取得最小值的x，y，z之间的关系，将

3

x

+

1

y

-

9

z

中的x，z代换成y表示，转化成了关于

1

y

的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得

3

x

+

1

y

-

9

z

的最大值．

解答：解：∵x²-3xy+9y²-z=0，
∴z=x²-3xy+9y²≥2

x2•9y2

-3xy=3xy，
∵x，y，z均为正实数，
∴

xy

z

≤

xy

3xy

=

1

3

，
当且仅当x²=9y²，即x=3y，此时z=9y²时取“=”，
∴

3

x

+

1

y

-

9

z

=

3

3y

+

1

y

-

9

9y2

=-

1

y2

+

2

y

=-(

1

y

-1)2+1，
∵y＞0，
∴

1

y

＞0，
∴-(

1

y

-1)2+1≤1，
∴

3

x

+

1

y

-

9

z

≤1，
∴

3

x

+

1

y

-

9

z

的最大值为1．
故选A．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．