【题目】斜率为k的直线l经过抛物线y=x2的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,若线段|AB|的长为8.
(1)求抛物线的焦点F的坐标和准线方程;
(2)求直线的斜率k.
【答案】(1)焦点F的坐标为(0,1),y=-1(2)k=±1
【解析】
(1)结合抛物线性质,计算焦点坐标和准线方程,即可。(2)结合抛物线定义,计算出的值,设出直线l的方程,得到,将直线l方程代入抛物线方程,结合根与系数关系,计算k,即可。
(1)化y=x2为标准方程x2=4y,
由此,可知抛物线的焦点F的坐标为(0,1),准线方程为y=-1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由抛物线的定义知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
于是|AB|=y1+y2+2,
又|AB|=8,所以y1+y2=6,
由(1)得,抛物线的焦点为(0,1),
所以直线l的方程为y=kx+1,
所以kx1+1+kx2+1=6,k(x1+x2)=4,
由直线l的方程与抛物线方程得kx+1=,
即x2-4kx-4=0,Δ=16k2+16>0,所以x1+x2=4k,
代入k(x1+x2)=4,得k2=1,k=±1.
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【题目】对任意实数,,,给出下列命题,其中真命题是( )
A.“”是“”的充要条件B.“”是“”的充分条件
C.“”是“”的必要条件D.“是无理数”是“是无理数”的充要条件
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【题目】已知定点、,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设直线与曲线交于、两点,若直线与斜率之积为,求证:直线过定点,并求定点坐标.
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【题目】已知椭圆+=1(a>b>0)上的点P到左,右两焦点F1,F2的距离之和为2,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,若y轴上一点M(0,)满足|MA|=|MB|,求直线l的斜率k的值.
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【题目】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有3个红球和7个白球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出3个球.
(1)设表示摸出的红球的个数,求的分布列和数学期望;
(2)为了提高同学们参与游戏的积极性,参加游戏的同学每人可摸球两次,每次摸球后放回,若规定两次共摸出红球的个数不少于,且中奖概率大于60%时,即中奖,求的最大值.
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【题目】已知为偶函数.
(1)求实数的值,并写出在区间上的增减性和值域(不需要证明);
(2)令,其中,若对任意、,总有,求的取值范围;
(3)令,若对任意、,总有,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数 有极值,且函数的极值点是的极值点,其中是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)
(1)求关于的函数关系式;
(2)当时,若函数的最小值为,证明: .
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【题目】对于区间[a,b](a<b),若函数同时满足:①在[a,b]上是单调函数,②函数在[a,b]的值域是[a,b],则称区间[a,b]为函数的“保值”区间
(1)求函数的所有“保值”区间
(2)函数是否存在“保值”区间?若存在,求的取值范围,若不存在,说明理由
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【题目】下列说法正确的是 ( )
A. “若,则,或”的否定是“若则,或 ”
B. a,b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么是的必要条件.
C. 命题“,使 得”的否定是:“,均有 ”
D. 命题“ 若,则”的否命题为真命题.
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