Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=pa_n+q，且a₂=3，a₄=15，则p+q=3．

Answer 1

分析 由已知条件利用递推公式推导出a₂和a₄关于p，q的方程，解方程组能求出p，q的值，由此能求出p+q．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=pa_n+q，且a₂=3，a₄=15，
∴a₂=pa₁+q，即p+q=3，
${a}_{4}=p{a}_{3}+q=p（p{a}_{2}+q）+q={p}^{2}{a}_{2}+pq+q$，
即3p²+pq+q=15，
联立$\left\{\begin{array}{l}{p+q=3}\\{3{p}^{2}+pq+q=15}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-3}\\{q=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=2}\\{q=1}\end{array}\right.$，
∴p+q=-3+6=3或p+q=1+2=3．
故答案为：3．

点评 本题考查p+q的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式的合理运用．