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已知函数f(x)=
1+ln(x+1)
x
.(x>0)
(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(2)若当x>0时,f(x)>
k
x+1
恒成立,求正整数k的最大值.
分析:(1)直接求函数f(x)的导函数,化简导函数分子,判断正负即可;
(2)可以先利用特殊值x=1先尝试k的可能值,然后用导数的方法予以证明;
    或者构造新函数将问题转化为求函数最值,利用函数的导数去研究函数的最值即可.
解答:解:(1)函数f(x)=
1+ln(x+1)
x

∴f′(x)=
1
x2
[
x
x+1
-1-ln(x+1)]=-
1
x2
[
x
x+1
+ln(x+1)].
由x>0,x2>0,
x
x+1
>0,ln(x+1)>0,得f′(x)<0.
因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
(2)解法一:当x>0时,f(x)>
k
x+1
恒成立,令x=1有k<2[1+ln2].
又k为正整数.则k的最大值不大于3.
下面证明当k=3时,f(x)>
k
x+1
(x>0)恒成立.
即证明x>0时(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立.
令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x,
则g′(x)=ln(x+1)-1.
当x>e-1时,g′(x)>0;当0<x<e-1时,g′(x)<0.
∴当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0.
∴当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立.
因此正整数k的最大值为3.
解法二:当x>0时,f(x)>
k
x+1
恒成立.
即h(x)=
(x+1)[1+ln(x+1)]
x
>k对x>0恒成立.
即h(x)(x>0)的最小值大于k.
由h′(x)=
x-1-ln(x+1)
x2
,记Φ(x)=x-1-ln(x+1).(x>0)
则Φ′(x)=
x
x+1
>0,
∴Φ(x)在(0,+∞)上连续递增.
又Φ(2)=1-ln3<0,Φ(3)=2-2ln2>0,
∴Φ(x)=0存在惟一实根a,且满足:a∈(2,3),a=1+ln(a+1),
由x>a时,Φ(x)>0,h′(x)>0;0<x<a时,Φ(x)<0,h′(x)<0知:
h(x)(x>0)的最小值为h(a)=
(a+1)[1+ln(a+1)]
a
=a+1∈(3,4).
因此正整数k的最大值为3.
点评:本题考查函数的导数在最大值、最小值中的应用,以及函数的导数法研究函数的单调性,同时转化思想是解决此类恒成立问题的“良方”.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),则实数x的取值范围是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
,则f[f(π)]=(  )

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1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证对任意大于1的正整数n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
),其中x∈R,则下列结论中正确的是(  )

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