Question

已知双曲线的一条渐近线方程是y=

3

2

x，焦距为2

7

，则此双曲线的标准方程为

x2

4

-

y2

3

=1或

y2

3

-

x2

4

=1

．

Answer 1

分析：若双曲线焦点在x轴上，设它的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．根据渐近线方程是y=

3

2

x，可得

b

a

=

3

2

，再根据焦距为2

7

，得到c=

a2+b2

=

7

，联解可得a²和b²的值，从而得到焦点在x轴上双曲线的标准方程．然后用类似的方法，可得焦点在y轴上双曲线的标准方程，最后得到满足题意的双曲线的标准方程．

解答：解：（1）当双曲线焦点在x轴上时，
设它的标准方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵双曲线的一条渐近线方程是y=

3

2

x，
∴渐近线方程y=±

b

a

x即y=±

3

2

x，有

b

a

=

3

2

…①
又∵双曲线的焦距为2

7

∴c=

a2+b2

=

7

…②
联解①②，得a²=4，b²=3
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

3

=1
（2）当双曲线焦点在y轴上时，
设它的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
采用类似（1）的方法，可得a²=3，b²=4
∴双曲线方程为

y2

3

-

x2

4

=1
综上所述，所求双曲线方程为：

x2

4

-

y2

3

=1或

y2

3

-

x2

4

=1
故答案为：

x2

4

-

y2

3

=1或

y2

3

-

x2

4

=1

点评：本题用待定系数法求双曲线的标准方程，着重考查了双曲线的渐近线和焦点等基本概念和双曲线的简单性质，属于基础题．