Question

3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=2，b=$\sqrt{2}$a，则△ABC面积的最大值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先利用余弦定理求出cosC的值然后利用三角形面积公式可知S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²sinC，然后化简变形求出S的最大值，注意取最大值时a的值．

解答 解：由公式c²=a²+b²-2abcosC和c=2，b=$\sqrt{2}$a得
4=a²+2a²-2$\sqrt{2}$a²cosC
可推出cosC=$\frac{3{a}^{2}-4}{2\sqrt{2}{a}^{2}}$，
又由公式S面积=$\frac{1}{2}$absinC和b=$\sqrt{2}$a 得
S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a²sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{\frac{-{a}^{4}+24{a}^{2}-16}{8}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-（{a}^{2}-12）^{2}+128}$，
当a²=12时，S面积取最大值2$\sqrt{2}$．
三角形三边a+b＞c，b-a＜c
所以得2$\sqrt{2}$+2＞a＞2$\sqrt{2}$-2，所以a=2$\sqrt{3}$．
故答案是：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了三角形中的几何计算，同时考查了余弦定理和二次函数的最值等有关基础知识，属于中档题．