Question

在矩形ABCD中，已知AD=2AB=2，点E是AD得中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使平面D′EC⊥平面BEC．
（1）证明：BE⊥CD′；
（2）求点E到平面D′EC的距离．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性质证明线面垂直，即BE⊥面D'EC，利用线面垂直的性质，可得结论；
（2）设点E到平面D′BC的距离为h先计算V_{三棱锥B-D′EC}=

1

3

×

1

2

×

2

=

2

6

，V_{三棱锥E-D′BC}=

1

3

×

3

2

×h，利用V_{三棱锥E-D′BC}=V_{三棱锥B-D′EC}，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，BE⊥EC．…（3分）
∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，
∵CD′?面D'EC，
∴BE⊥CD′．             …（7分）
（2）解：设点E到平面D′BC的距离为h．
由（1）可知BE⊥面D'EC，且BE=

2

，
∵S_△D′EC=S_△DEC=

1

2

×1×1=

1

2

，∴V_{三棱锥B-D′EC}=

1

3

×

1

2

×

2

=

2

6

．                           …（9分）
∵BE⊥面D'EC，D′C?面D'EC，∴BE⊥D'C．
在△D′BC中，BC=2，D'C=DC=1，∴D′B=

3

，
∴S_△D′BC=

1

2

×

3

×1=

3

2

，∴V_{三棱锥E-D′BC}=

1

3

×

3

2

×h     …（12分）
由V_{三棱锥E-D′BC}=V_{三棱锥B-D′EC}，得h=

6

3

．
所以，点E到平面D′BC的距离为

6

3

．      …（14分）

点评：本题考查面面垂直的性质证明线面垂直，考查点到面的距离的计算，掌握面面垂直的性质、线面垂直的体积证明方法，正确求体积是关键．