Question

(本小题满分12分)
如图，三棱锥中，底面于，
，点，点分别是的中点.

(1) 求证：侧面⊥侧面;
(2) 求点到平面的距离;
(3) 求异面直线与所成的角的余弦.

Answer 1

（1）证明略
（2）4
（3）

（1）以所在直线为轴，所在直线轴，建立空间直角坐标系，由条件可设
(0,0,4), (0,0,0), (0,–4，0)，(4,–4,0);
则（0,–2,2），（2,–2，2）,                    --- 2分
平面的法向量(1,0,0 ), 而,
因为, 所以侧面⊥侧面;                            --- 2分
(或 ∵ 底面， ∴ 平面⊥平面，               --- 2分
又∵ ⊥，∴ ⊥平面, ∴ 侧面⊥侧面;) .     --- 2分
(2) 在等腰直角三角形中, , 又中位线, 而由(1)
⊥平面, 则⊥平面, ∴ ,                    --- 2分
所以平面, 那么线段即为点到平面的距离. --- 2分
（3）由(1)所建坐标系, 得=(–4,2,2), =（2,–2，2）,
∴·="–16," 又||·||=24,                             --- 2分
<,>=–,
∴ 与所成的角的余弦值是.          --- 2分