Question

函数y=lg（3-4x+x²）的定义域为M，函数f（x）=4^x-2^x+1（x∈M）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）当x∈M时，关于x方程4^x-2^x+1=b（b∈R）有两不等实数根，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由.3-4x+x²＞0，求得x的范围可得 M={x＞3或x＜1}；令2^x=t＞0，则f（x）=g（t）=（t-1）²-1≥-1，可得函数f（x）的值域．
（2）由题意可得函数y=t²-2t 的图象和直线y=b有2个交点，数形结合可得b的范围．

解答：解：（1）∵由.3-4x+x²＞0，解得x＞3，或x＜1，∴M={x＞3或x＜1}；
∵f（x）=4^x-2^x+1，令2^x=t＞0，则f（x）=g（t）=t²-2t=（t-1）²-1≥-1，
所以值域为[-1，+∞）．
（2）．∵4^x-2^x+1=b（b∈R）有两不等实数根，∴函数y=t²-2t 的图象和直线y=b有2个交点，
数形结合可得，-1＜b＜0，即b的范围（-1，0）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，体现了转化以及数形结合的数思想，属于中档题．