Question

已知函数f(x)=

2x+3

3x

，数列{a_n}满足a1=1，an+1=f(

1

an

)，n∈N*，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n；
（3）若Tn≤

m

2

对n∈N^*恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

2x+3

3x

=

2

3

+

1

x

，a1=1，an+1=f(

1

an

)，n∈N*，知an+1=f(

1

an

)=

2

3

+an，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由an=

2

3

n+

1

3

，知T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1=-

4

3

(a2+a4+…+a2n)，由此能求出T_n．
（3）由n∈N^*，{T_n}递减，知当n=1时，T_n取最大值-

20

9

，由Tn≤

m

2

时，n∈N^*恒成立，知m≥(2Tn)max=-

40

9

，由此能求出m的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

2x+3

3x

=

2

3

+

1

x

，a1=1，an+1=f(

1

an

)，n∈N*，
∴an+1=f(

1

an

)=

2

3

+an，
∴{a_n}是以1为首项，以

2

3

为公差的等差数列，
所以an=

2

3

n+

1

3

．
（2）∵an=

2

3

n+

1

3

，
∴T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-

4

3

(a2+a4+…+a2n)
=-

4

3

[

5

3

n+

n(n-1)

2

×

4

3

]
=-

4

9

(2n2+3n)．
（3）由n∈N^*，{T_n}递减，
所以当n=1时，T_n取最大值-

20

9

，
由Tn≤

m

2

时，n∈N^*恒成立，
所以，m≥(2Tn)max=-

40

9

，
所以，m的最小值为-

40

9

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查满足条件的实数的最小值的求法．解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用．