Question

3．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x²+2y²=1的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，…”
②解：设AB的斜率为k，…点B（$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$），D（-$\frac{5}{3}$，0），…据此，请你写出直线CD的斜率为$\frac{3k}{{2{k^2}+4}}$．（用k表示）

Answer 1

分析 由题意可得直线AC的斜率为$\frac{2}{k}$，则将k换成$\frac{2}{k}$，可得点C（$\frac{{k}^{2}-8}{{k}^{2}+8}$，$\frac{4k}{{k}^{2}+8}$），运用直线的斜率公式，计算即可得到．

解答 解：椭圆x²+2y²=1的左顶点为A（-1，0），过点A作两条斜率之积为2的射线，
设直线AB的斜率为k，则直线AC的斜率为$\frac{2}{k}$，
由题意可得点B（$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$），D（-$\frac{5}{3}$，0），
则将k换成$\frac{2}{k}$，可得点C（$\frac{{k}^{2}-8}{{k}^{2}+8}$，$\frac{4k}{{k}^{2}+8}$），
则直线CD的斜率为
$\frac{\frac{4k}{{k}^{2}+8}-0}{\frac{{k}^{2}-8}{{k}^{2}+8}+\frac{5}{3}}$=$\frac{3k}{2{k}^{2}+4}$．
故答案为：$\frac{3k}{{2{k^2}+4}}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．