Question

【题目】如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD

（2）解：设正方形边长a，则SD= a．

又OD= a，所以∠SDO=60°，

连OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，

所以AC⊥OP，且AC⊥OD，

所以∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角．

由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，

所以∠POD=30°，

即二面角P﹣AC﹣D的大小为30°

【解析】（1）连BD，设AC交BD于O，则SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，根据线面垂直的判定定理可知AC⊥平面SBD，SD平面SBD，根据线面垂直的性质可知AC⊥SD．（2）设正方形边长a，求出SD、OD，得到∠SDO，连OP，根据（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，则AC⊥OP，且AC⊥OD，根据二面角平面角的定义可知∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角，然后在三角形POD求出此角即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．