Question

在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足（2b-c）cosA=acosC
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若|

AC

-

AB

|=1，求△ABC周长l的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过正弦定理以及三角形的内角和，求出SA的余弦值，然后求出A的大小．
（2）通过已知条件求出a的值，利用正弦定理求出b与c的值的表达式，利用周长以及两角和的正弦函数，集合B的范围求出△ABC周长l的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵（2b-c）cosA=acosC，
由正弦定理有：2（sinB-sinC）cosA=sinAcosC，…（2分）
∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，sinB（2cosA-1）=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

．   …（6分）
（Ⅱ）由已知|

AC

-

AB

|=1，∴|

BC

|=1，即a=1，
由正弦定理得：b=

asinB

sinA

=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，…（8分）
l=a+b+c=1+

2

3

(sinB+sinC)=1+

2

3

(sinB+sin(A+B))
=1+2(

3

2

sinB+

1

2

cosB)=1+2sin（B+

π

6

）．         …（10分）
∵A=

π

3

，∴B∈(0，

2π

3

)，∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，∴sin（B+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
故△ABC的周长l的取值范围是（2，3]．                               …（12分）

点评：本题考查正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查转化思想，计算能力．