Question

14．某种商品的包装费y（元）与商品的重量x（千克）有如下函数关系：y=ax²+bx+64，其中x＞0，当x=1千克时，y=52元，当x=6.5千克时，y取最小值
（1）若要使商品的包装费低于28元，求商品重量x的取值范围
（2）当x取何值时，平均每千克的包装费P最低，并求出P的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求出函数的解析式，再解对应的不等式组即可．
（2）由于p=$\frac{y}{x}$=x+$\frac{64}{x}$-13，利用基本不等式即可求出最值．

解答 解：（1）由y=ax²+bx+64，其中x＞0，当x=1千克时，y=52元，当x=6.5千克时，y取最小值，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+64=52}\\{-\frac{b}{2a}=6.5}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-13，
∴y=x²-13x+64，
∵商品的包装费低于28元，
∴0＜x²-13x+64＜28，
解得4＜x＜9，
∴商品重量x的取值范围为（4，9）．
（2）p=$\frac{y}{x}$=x+$\frac{64}{x}$-13≥2$\sqrt{x•\frac{64}{x}}$-13=2×8-13=3，当且仅当x=8时，取等号，
∴x=8时，平均每千克的包装费P最低，P的最小值为3元．

点评 本题考查了待定系数法即可求出函数的解析式和不等式的解法和不等式的应用，属于基础题．