Question

如图，边长为2的正方形A₁ACC₁绕直线CC₁旋转90°得到正方形B₁BCC₁，D为CC₁的中点，E为A₁B的中点，G为△ADB的重心．
（1）求直线EG与直线BD所成的角；
（2）求直线A₁B与平面ADB所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以C为坐标原点，CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线EG与直线BD的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．
（2）分别求出直线A₁B的方向向量与平面ADB的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线A₁B与平面ADB所成的角的正弦值．

解答：解：由题设CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，AC⊥BC
所以，以C为坐标原点，CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），
所以D（0，0，1），E（1，1，1），G(

2

3

，

2

3

，

1

3

)．（2分）
（1）

EG

=(-

1

3

，-

1

3

，-

2

3

)，

BD

=(0，-2，1)（4分）
所以

EG

•

BD

=

2

3

-

2

3

=0，
∴

EG

⊥

BD

所以，直线EG与直线BD所成的角为

π

2

．（5分）
（2）

A1B

=(-2，2，-2)（6分）

AB

=(-2，2，0)，

AD

=(-2，0，1)
设

n

=(x0，y0，z0)为平面ABD的一个法向量
则

n • AB =-2x0+2y0=0 n • AD =-2x0+y0=0

，
∴

y0=x0 z0=2x0

取

n

=(1，1，2)．（8分）
设A₁B与平面ADB所成的角为θ
则sinθ=|cos?

A1B，

n

＞|=

4

2 3 • 6

=

2

3

．
即：A₁B与平面ADB所成的角为正弦值为

2

3

．（10分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，把空间异面直线的夹角问题及直线与平面的夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．