分析 ①利用回归直线方程的定义和性质进行求解.
②根据函数奇偶性和周期性的关系,作出两个函数的图象,利用数形结合进行判断,
③利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题进行判断,
④根据基本不等式的关系转化为证明x1•x2>e2即可证明$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$>e成立.
解答 解:①若回归直线的斜率估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是y-5=1.23(x-4),即$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08;故①正确,
②若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[0,1]时,f(x)=x,
作出函数f(x)和g(x)=log3|x|的图象,
∵f(3)=f(1)=1,g(3)=1,
∴方程f(x)=log3|x|有4个根;故②错误,
③函数f(x)=($\frac{3}{2}$)x-sinx-1=0得($\frac{3}{2}$)x=sinx+1,
作出两个函数y=($\frac{3}{2}$)x和y=sinx+1在(0,+∞)内的图象,由图象知两个函数只有一个交点,
即函数f(x)有且只有一个零点;故③正确,
④设x1>x2>0,
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$>$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$,
则当$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$>e,即x1•x2>e2时,$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$>$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$>e成立,
下证明,x1•x2>e2成立
设x1>x2>0,
∵f(x1)=0,f(x2)=0,
∴lnx1-ax1=0,lnx2-ax2=0,
∴lnx1-lnx2=a(x1-x2),lnx1+lnx2=a(x1+x2)
原不等式x1•x2>e2等价于lnx1+lnx2>2?a(x1+x2)>2,
?$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$>$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$?ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$>$\frac{2{(x}_{1}{-x}_{2})}{{x}_{1}{+x}_{2}}$,
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t,则t>1,
∴ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$>$\frac{2{(x}_{1}{-x}_{2})}{{x}_{1}{+x}_{2}}$?lnt>$\frac{2(t-1)}{t+1}$,
设g(t)=lnt-$\frac{2(t-1)}{t+1}$,(t>1),
∴g′(t)=$\frac{{(t-1)}^{2}}{{t(t+1)}^{2}}$>0,
∴函数g(t)在(1,+∞)是递增,
∴g(t)>g(1)=0即不等式lnt>$\frac{2(t-1)}{t+1}$成立,
故所证不等式x1•x2>e2成立.则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$>$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$>e成立,故④正确,
故答案为:①③④
点评 本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强,难度极大,考查学生的运算和转化能力.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [0,2] | B. | (1,3) | C. | [1,3) | D. | [-2,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0 | B. | 1 | C. | 3 | D. | 5 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
ξ | 1 | 2 | 3 |
P | 0.3 | 0.1 | 0.6 |
η | 1 | 2 | 3 |
P | 0.3 | 0.4 | 0.3 |
A. | 甲好于乙 | B. | 乙好于甲 | C. | 一样好 | D. | 无法确定 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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