Question

10．给出下列三个命题：
①若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08；
②若偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log₃|x|有3个根；
③函数f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1在（0，+∞）内有且只有一个零点；
④已知函数f（x）=ax-lnx，且f（x₁）=f（x₂）=0，则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞e．
正确命题的序号是①③④（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①利用回归直线方程的定义和性质进行求解．
②根据函数奇偶性和周期性的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行判断，
③利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题进行判断，
④根据基本不等式的关系转化为证明x₁•x₂＞e²即可证明$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞e成立．

解答 解：①若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是y-5=1.23（x-4），即$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08；故①正确，
②若偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，
作出函数f（x）和g（x）=log₃|x|的图象，
∵f（3）=f（1）=1，g（3）=1，
∴方程f（x）=log₃|x|有4个根；故②错误，

③函数f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1=0得（$\frac{3}{2}$）^x=sinx+1，
作出两个函数y=（$\frac{3}{2}$）^x和y=sinx+1在（0，+∞）内的图象，由图象知两个函数只有一个交点，
即函数f（x）有且只有一个零点；故③正确，

④设x₁＞x₂＞0，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，
则当$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＞e，即x₁•x₂＞e²时，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＞e成立，
下证明，x₁•x₂＞e²成立
设x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=0，f（x₂）=0，
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）
原不等式x₁•x₂＞e²等价于lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2，
?$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}}$?ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{+x}_{2}}$，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=t，则t＞1，
∴ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞$\frac{2{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{+x}_{2}}$?lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
设g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，（t＞1），
∴g′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
∴函数g（t）在（1，+∞）是递增，
∴g（t）＞g（1）=0即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故所证不等式x₁•x₂＞e²成立．则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＞e成立，故④正确，
故答案为：①③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度极大，考查学生的运算和转化能力．