Question

函数f（x）=|x²-2x|-a²-1（a≠0）的零点个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：函数f（x）的零点即方程|x²-2x|-a²-1=0的根，因此讨论|x²-2x|=a²+1，在同一坐标系内作出y=|x²-2x|与y=a²+1的图象，研究y=|x²-2x|的极值和a²+1的范围，可得两图象有2个交点，由此即可得到函数f（x）的零点个数．
解答：函数f（x）=|x²-2x|-a²-1（a≠0）的零点，
即方程|x²-2x|-a²-1=0的根，此方程等价于|x²-2x|=a²+1
同一坐标系内作出y=|x²-2x|与y=a²+1的图象，如右图所示
∵当0≤x≤2时，函数y=|x²-2x|有极大值1，
而函数y=a²+1（a≠0）的值必定大于1
∴两个图象有两个交点，其中一个点横坐标为负数，另一个点横坐标大于2
由此可得函数f（x）=|x²-2x|-a²-1（a≠0）有两个零点
故选：B
点评：本题给出含有绝对值的函数，要求我们讨论此函数零点的个数，着重考查了二次函数的图象与性质、函数零点的含义和函数与方程的关系等知识，属于基础题．