Question

14．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁，2S₂，3S₃成等差数列，且S₄=$\frac{40}{27}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：S_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据S₁，2S₂，3S₃成等差数列建立等式，求出q的值，然后根据等比数列的求和公式建立等式，可求出的首项，从而求出数列的通项；
（2）运用等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵S₁，2S₂，3S₃成等差数列
∴4S₂=S₁+3S₃，即4（a₁+a₂）=a₁+3（a₁+a₂+a₃），
∴a₂=3a₃，即q=$\frac{1}{3}$，
又S₄=$\frac{40}{27}$，∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=$\frac{40}{27}$，
解得a₁=1，
∴a_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1；
（2）证明：S_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＜$\frac{3}{2}$，
即有S_n＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，以及等比数列的求和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．