如图.四边形ABCD是正方形.延长CD至E.使得DE=CD.若动点P从点A出发.沿正方形的边按如下路线运动:A→B→C→D→E→A→D.其中AP=λAB+μAE.则下列判断中:①当P为BC的中点时λ+μ=2, ②满足λ+μ=1的点P恰有三个,③λ+μ的最大值为3, ④若满足λ+μ=k的点P有且只有两个.则k∈(1.3)．正确判断的序号是．(请写出所有正确判断� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若动点P从点A出发，沿正方形的边按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中

=λ

+μ

，则下列判断中：
①当P为BC的中点时λ+μ=2；
②满足λ+μ=1的点P恰有三个；
③λ+μ的最大值为3；
④若满足λ+μ=k的点P有且只有两个，则k∈（1，3）．
正确判断的序号是

．（请写出所有正确判断的序号）

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（-1，1），故

=（1，0），

=（-1，1），其中

=λ

+μ

=（λ-μ，μ）．
①：点P为BC的中点，

λ-μ=1

μ=

，解得λ，μ，即可判断出正误；
②：点P与B重合，点P为AD的中点，点P为E点，都满足λ+μ=1，即可判断出正误；
③：分类讨论：当P∈AB时，当P∈BC时，当P∈CD时，当P∈AD时，当P∈EA时，当P∈DE时，即可得出：λ+μ的范围，即可判断出正误；．
④：由③知，若满足λ+μ=k的点P有且只有两个，则k∈[1，3]．即可判断出正误．

解答： 解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，

则B（1，0），E（-1，1），故

=（1，0），

=（-1，1），其中

=λ

+μ

=（λ-μ，μ）．
对于①：∵点P为BC的中点，

λ-μ=1

μ=

，解得λ=

，μ=

，∴λ+=μ=2，故①正确；
对于②：当λ=1，μ=0时，

=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，
当λ=

，μ=

时，

=（0，

），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，
若λ=0，μ=1，则

，此时点P为E点，满足λ+μ=1，
故满足λ+μ=1的点有且只有三个，故②正确；
对于③：当P∈AB时，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
当P∈EA时，有λ=0，0≤μ≤1，故0≤λ+μ≤1，
当P∈DE时，有-1≤λ-μ≤0，μ=1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确．
对于④：由③知，若满足λ+μ=k的点P有且只有两个，则k∈[1，3]．故④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了向量的线性运算、向量坐标的理解与应用，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

练习册系列答案

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，0）内递增

D、在（0，

）内递增