Question

8．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，$\sqrt{2}$），且离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P，Q，点N在线段PQ上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}=λ$，若直线l与y轴不重合，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆方程，利用椭圆的离心率，顶点坐标，转化求解即可．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，通过韦达定理，化简$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}$，利用点N在直线y=kx+2上，推出$λ=\frac{{2-{y_1}}}{{{y_1}-1}}=\frac{1}{{{y_1}-1}}-1$，然后求出结果．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由于椭圆的一个顶点是$A（0，\sqrt{2}）$，故b²=2，根据离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得a²=8，
所以椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
根据韦达定理得${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{8}{{1+4{k^2}}}$，
由$\frac{{|\overrightarrow{PM}|}}{{|\overrightarrow{PN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{MQ}|}}{{|\overrightarrow{NQ}|}}$，得$\frac{{0-{x_1}}}{{{x_1}-{x_0}}}=\frac{{0-{x_2}}}{{{x_0}-{x_2}}}$，整理得2x₁x₂=x₀（x₁+x₂），把上面的等式代入得${x_0}=-\frac{1}{k}$，
又点N在直线y=kx+2上，所以${y_0}=k（-\frac{1}{k}）+2=1$，于是有$1＜{y_1}＜\sqrt{2}$，$λ=\frac{{2-{y_1}}}{{{y_1}-1}}=\frac{1}{{{y_1}-1}}-1$，由$1＜{y_1}＜\sqrt{2}$，得$\frac{1}{{{y_1}-1}}＞\sqrt{2}+1$，所以$λ＞\sqrt{2}$．
综上所述，$λ＞\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．