Question

已知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），曲线C₁上的动点P满足|PF1|+|PF2|=

2

|F1F2|．
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设曲线C₂的方程为|x|+|y|=m（m＞0），当C₁和C₂有四个不同的交点时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义可得2a=4

2

可求a，由c=2及b²=a²-c²可求b，进而可求解椭圆方程
（2）分类讨论，化简已知方程可得，曲线C₂是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四个点为顶点的正方形，若使C₁和C₂有四个不同的交点，且曲线C₁，C₂都是关于x轴，y轴对称的曲线，则可得曲线x+y=m（0＜x≤m）与C₁有且仅有一个交点，即方程组

x+y=m(0＜x≤m) x2 8 + y2 4 =1

有且仅有一组解，即关于x的方程3x²-4mx+2m²-8=0在区间（0，m]上有且仅有一个实数根，根据二次函数的性质分类进行求解

解答：解：（1）∵点F₁（-2，0），F₂（2，0）
由题意|PF1|+|PF2|=

2

|F1F2|=4

2

，且|F1F2|=4＜4

2

∴曲线C₁是以F₁（2，0），F₂（-2，0）为焦点，长轴为4

2

的椭圆
设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵2a=4

2

，2c=4，b²=a²-c²=4
∴曲线C₁的方程为

x2

8

+

y2

4

=1
（2）∵曲线C₂的方程为|x|+|y|=m（m＞0）
∴当x＞0，y≥0时，曲线C₂的方程为x+y=m（m＞0）
当x≤0，y＞0，曲线C₂的方程为-x+y=m（m＞0）
当x＜0，y≤0，曲线C₂的方程为-x-y=m（m＞0）
当x≥0，y＜0，曲线C₂的方程为x-y=m（m＞0）
∴曲线C₂是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四个点为顶点的正方形
∵C₁和C₂有四个不同的交点，且曲线C₁，C₂都是关于x轴，y轴对称的曲线
∴曲线x+y=m（0＜x≤m）与C₁有且仅有一个交点
∴

x+y=m(0＜x≤m) x2 8 + y2 4 =1

有且仅有一组解
即关于x的方程3x²-4mx+2m²-8=0在区间（0，m]上有且仅有一个实数根x₀
设f（x）=3x²-4mx+2m²-8
①

△=16m2-12(2m2-8)=0 0＜x0≤m

，解得m=2

3

②

m＞0 f(0)=2m2-8＞0 f(m)=m2-8＜0

，解得2＜m＜2

2

综上得m=2

3

或2＜m＜2

2

点评：本题主要考查了由椭圆的定义求解椭圆的方程及直线与曲线在闭区间上的交点个数的应用，注意分类讨论思想的应用