Question

已知圆O：x²+y²=1与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C，若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则x的取值范围为

 

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Answer 1

分析：本题考查的是如何判断三角形的形状，由圆O：x²+y²=1与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C，我们可以将线段AD、BD、CD都用变量x表示，再根据判断三角形形状的方法，构造不等式，解不等式即可得到x的取值范围

解答：解：由已知易得A（-1，0），B（1，0），
若在线段AB上取一点D（x，0），作DC⊥AB与圆O的一个交点为C
则-1＜x＜1，
则AD=x+1，BD=x-1，CD=

1-x2

当x＜0时，BD为最大边，
此时若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，
则BD²＜AD²+CD²
即：（x-1）²＜（x+1）²+（1-x²）
解得：-

5

+2＜x＜0
同理可求：当x＞0时，0＜x＜

5

-2
又∵x=0时，AD=BD=CD=1，也满足要求
综上x的取值范围为(-

5

+2，  

5

-2)
故答案为：(-

5

+2，  

5

-2)

点评：要判断三角形的形状，我们要先判断出三角形的最大边C，如果
①c²＜a²+b²，则三角形为锐角三角形；
②c²=a²+b²，则三角形为直角三角形；
③c²＞a²+b²，则三角形为钝角三角形；