Question

在几何体ABCDE中，，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1，
（I）求证：DC∥平面ABE；
（II）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；
（III）设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE．

Answer 1

解：（I）证明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，
又∵DC?平面ABE，EB?平面ABE，∴DC∥平面ABE．
（II）∵CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC∴CD∥BE，∴CD∥平面ABE． 又l=平面ACD∩平面ABE．∴CD∥l．
又l?平面BCDE，CD?平面BCDE，∴l∥平面BCDE．
（III）∵F是BC的中点，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AF．∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，AF⊥平面BCDE．
∴AF⊥DF，AF⊥EF，∴∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角．
在△DEF中，FD=，FD⊥FE，即∠DFE=90°，∴平面AFD⊥平面AFE．
分析：（I）要证明DC∥平面ABE，关键是要在平面ABE中找到可能与DC平行的直线，观察发现BE满足要求，根据已知证明BE∥DC，再根据线面平行的判定定理即可求解．
（II）根据CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC判断出CD∥BE，进而利用直线与平面平行的判断定理可知CD∥平面ABE，利用直线与平面平行的性质可推断出CD∥l，进而可推断出l∥平面BCDE．
（III）根据CD⊥平面ABC推断出CD⊥AF，同时利用AB=AC，F是BC的中点推断出AF⊥BC，AF⊥平面BCDE进而利用直线与平面垂直的性质可知AF⊥DF，AF⊥EF进而可推断出∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角，利用勾股定理可推断出FD⊥FE，推断出∠DFE=90°，进而证明出平面AFD⊥平面AFE．
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定等，要求考生对基本定理能熟练掌握．其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．