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设a1,a2,…,a2n+1均为整数,性质P为:对a1,a2,…,a2n+1中任意2n个数,存在一种分法可将其分为两组,每组n个数,使得两组所有元素的和相等求证:a1,a2,…,a2n+1全部相等当且仅当a1,a2,…,a2n+1具有性质P.

证明:①当a1,a2,…,a2n+1全部相等时,从中任意2n个数,将其分为两组,每组n个数,两组所有元素的和相等,
故性质P成立.
②下面证明:当a1,a2,…,a2n+1具有性质P时,a1,a2,…,a2n+1全部相等.反证法:
假设a1,a2,…,a2n+1不全部相等,则其中至少有一个整数和其它的整数不同,不妨设此数为a1
若a1在取出的2n个数中,将其分为两组,每组n个数,则a1在的那个组所有元素的和与另一个组所有元素的和不相等,
这与性质P 矛盾,故假设不成立,
所以,当a1,a2,…,a2n+1具有性质P时,a1,a2,…,a2n+1全部相等.
综上,a1,a2,…,a2n+1全部相等当且仅当a1,a2,…,a2n+1具有性质P.
分析:先证 a1,a2,…,a2n+1全部相等时,性质P成立.
再证 当a1,a2,…,a2n+1具有性质P时,a1,a2,…,a2n+1全部相等,用反证法,假设要证结论的反面成立,
推出与性质P相矛盾的结论,可得假设不成立.
点评:本题考查充要条件的定义,用反证法证明命题的方法和步骤.
练习册系列答案
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设A1、A2是椭圆
x2
9
+
y2
4
=1
=1的长轴两个端点,P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点,则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(  )
A、
x2
9
+
y2
4
=1
B、
y2
9
+
x2
4
=1
C、
x2
9
-
y2
4
=1
D、
y2
9
-
x2
4
=1

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