Question

已知命题P：在R上定义运算?：x?y=（1-x）y．不等式x?（1-a）x＜1对任意实数x恒成立；命题Q：若不等式

x2+ax+6

x+1

≥2对任意的x∈N^*恒成立．若P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）由题意知，x?（1-a）x=（1-x）（1-a）x，若命题P为真，（1-a）x²-（1-a）x+1＞0对任意实数x恒成立，对1-a分类讨论：当1-a=0时，直接验证；当1-a≠0时，

1-a＞0 △=(1-a)2-4(1-a)＜0

，解出即可．
（2）若命题Q为真，不等式

x2+ax+6

x+1

≥2对任意的x∈N^*恒成立，可得（x²+ax+6）≥2（x+1）对任意的x∈N^*恒成立，即a≥-(x+

4

x

)+2对任意的x∈N^*恒成立，利用基本不等式的性质即可得出．由于P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，可得P，Q中必有一个真命题，一个假命题．

解答： 解：（1）由题意知，x?（1-a）x=（1-x）（1-a）x，
若命题P为真，（1-a）x²-（1-a）x+1＞0对任意实数x恒成立，
∴①当1-a=0即a=1时，1＞0恒成立，∴a=1； 
②当1-a≠0时，

1-a＞0 △=(1-a)2-4(1-a)＜0

，
∴-3＜a＜1，
综合①②得，-3＜a≤1．
若命题Q为真，∵x＞0，∴x+1＞0，
则（x²+ax+6）≥2（x+1）对任意的x∈N^*恒成立，
即a≥-(x+

4

x

)+2对任意的x∈N^*恒成立，
令f(x)=-(x+

4

x

)+2，只需a≥f（x）_max，
∵f(x)≤-2

x• 4 x

+2=-4+2=-2，当且仅当x=

4

x

(x∈N*)，即x=2时取“=”．
∴a≥-2．
∵P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，
∴P，Q中必有一个真命题，一个假命题．
若P为真Q为假，则

-3＜a≤1 a＜-2

，-3＜a＜-2，
若P为假Q为真，则

a≤-3或a＞1 a≥-2

，∴a＞1，
综上可得a取值范围：-3＜a＜-2或a＞1．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法、很残酷问题的等价转化方法、分类讨论思想方法、基本不等式的性质、不等式的解集与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．