Question

已知函数f（x）=sinx+

3

cosx．
（I）求f（x）的周期和振幅；
（II）用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；
（III）写出函数f（x）的递减区间．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦公式对解析式进行化简后，求出函数的振幅和周期；
（II）把“x+

π

3

”作为一个整体，根据正弦函数图象的五个关键点列表，再由正弦函数的图象进行描点、连线；
（III）把“x+

π

3

”作为一个整体，根据正弦函数的单调区间，即由2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)求出x的范围，即求出函数的减区间．

解答：解：（I）y=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=2(sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）
=2sin(x+

π

3

)（2分）
∴函数f（x）的周期为T=2π，振幅为2．（4分）
（II）列表：
（7分）
图象如图．
（9分）
（III）由2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)解得：（10分）
2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

(k∈Z)
所以函数的递减区间为[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

](k∈Z)（12分）

点评：本题是关于正弦函数的性质应用的题目，需要利用公式对解析式进行化简，再由整体思想和正弦函数的性质求解，考查了整体思想和作图能力．