Question

5．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，点E是PD的中点．
（1）求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）求EC与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，在△EOF中求出此角．
（2）利用（1），说明EC与平面PBC所成角就是∠PAG-∠ECF（二面角与直线与平面所成角的差），然后利用解三角形求解即可．

解答 解：（1）连BD交AC于点O，连EO，
则EO是△PDB的中位线，
取AD的中点F，连EF，FO，
则EF是△PAD的中位线，
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位线，
∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．
又FO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$PA=EF
∴∠EOF=45°，故所求二面角E-AC-D的大小为45°．
（2）在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，点E是PD的中点．
EF⊥平面ABCD，G为BC的中点，AG⊥BC，平面EFC∥平面PAG，并且BC⊥平面PAG，EC与平面PBC所成角为θ，就是θ=∠PAG-∠ECF，AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，可得AG=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PA=2，EF=1，EC=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，PG=$\sqrt{4+\frac{1}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴cosθ=$\frac{（{\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-{1}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{5}{3\sqrt{3}}$．
EC与平面PBC所成角的正弦值：sinθ=$\sqrt{1-{cos}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．