Question

已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，且a+c=

23

，

1

tanA

+

1

tanC

=

5

3

．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系切化弦后，通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用两角和与差的正弦函数公式变形，再由a，b，c成等比数列，得b²=ac，利用正弦定理得到一个关系式，代入化简得到的式子中，求出sinB的值，再利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosB的值；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，根据完全平方公式变形后，将a+c的值代入求出ac的值，由ac及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）由

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

5

3

，
∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
∴由正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
在△ABC中有sin（A+C）=sinB，
∴

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

5

3

，即sinB=

3

5

，
由b²=ac知，b不是最大边，
则cosB=

1-sin2B

=

4

5

；
（Ⅱ）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB及b²=ac得：ac=a²+c²-2ac•

4

5

=（a+c）²-

18

5

ac，
解得：ac=5，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，等比数列的性质，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．