Question

半径为5的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（　　）

• A、50π
• B、25π
• C、100π
• D、75π

Answer 1

分析：设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，求出圆柱的侧面积表达式，求出最大值，计算球的表面积，即可得到两者的差值．

解答：解：作出对应的轴截面图如图：
设圆柱的上底面半径为r，球的半径R与上底面夹角为α，
则r=5cosα，圆柱的高AD=2OA=10sinα，
圆柱的侧面积为：2π×5cosα•10sinα=50πsin2α，
当且仅当α=

π

4

时，即sin2α=1时，圆柱的侧面积最大为50π，
圆柱的侧面积为：50π，球的表面积为：100π，
球的表面积与该圆柱的侧面积之差是：100π-50π=50π．
故选：A．

点评：本题考查球的内接圆柱的知识，球的表面积，圆柱的侧面积的最大值的求法，考查计算能力，作出轴截面图是解决本题的关键．