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定义在R上的函数f(x+2)(1-f(x))=1+f(x),f(2)=1-
3
,则f(2010)=
 
考点:函数的值
专题:函数的性质及应用
分析:由已知中函数f(x+2)(1-f(x))=1+f(x),可得函数f(x)是周期为8的周期函数,结合f(2)=1-
3
,可得f(2010)的值.
解答: 解:∵f(x+2)(1-f(x))=1+f(x),
∴f(x+2)=
1+f(x)
1-f(x)

∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=
1+f(x+2)
1-f(x+2)
=
1+
1+f(x)
1-f(x)
1-
1+f(x)
1-f(x)
=-
1
f(x)

∴f(x+8)=f[(x+4)+4]=-
1
f(x+4)
=f(x),
∴函数f(x)是周期为8的周期函数,
∵f(2)=1-
3

∴f(2010)=f(251×8+2)=f(2)=1-
3

故答案为:1-
3
点评:本题考查的知识点是函数的值,函数的周期性,其中分析出函数f(x)是周期为8的周期函数,是解答的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a(x-
1
x
)-2lnx(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g(x)=-
a
x
,若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上异于A,B的点,CD⊥AB,垂足为D.若AD=2,BC=2
6
,则半圆O的面积为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
1
2
,且过点(
3
3
2
),
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点A(0,m),P是椭圆上一点,且PA最大值为
5
,求m的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列a1,a2,…,a8,满足a1=2013,a8=2014,且an+1-an∈{-1,
1
3
,1}(其中n=1,2,…,7),则这样的数列{an}共有
 
个.

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题错误的是(  )
A、若
a
b
,则一定存在λ>0,使
a
b
B、若
a
b
(λ∈R),则
a
b
C、当m∈R时,恒有m(
a
-
b
)=m
a
-m
b
D、|
a
-
b
|≤|
a
+
b
|

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科目:高中数学 来源: 题型:

己知定义在实数集R上的函数f(x)满足:
①f(2-x)=f(x);②f(x+2)=f(x-2);③当x1,x2∈[1,3]时,
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0,
则f(2014)、f(2015)、f(2016)满足(  )
A、f(2014)>f(2015)>f(2016)
B、f(2016)>f(2015)>f(2014)
C、f(2016)=f(2014)>f(2015)
D、f(2016)=f(2014)<f(2015)

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在R上的函数f(x)满足当x>0时,f(x)>1,且对任意的x、y∈R,有f(x+y)=f(x)•f(y),f(1)=2,求解不等式f(3-2x)>4.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
b
c
是空间的一个单位正交基底,向量
a
+
b
a
-
b
c
是空间的另一个基底.若向量
p
在基底
a
b
c
下的坐标是(1,2,3),则
p
在基底
a
+
b
a
-
b
c
下的坐标是(  )
A、(
3
2
,-
1
2
,3)
B、(-
3
2
1
2
,-3)
C、(-
3
2
,-
1
2
,3)
D、(
3
2
1
2
,-3)

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