Question

定义一组函数f_n(x)＝(1＋x)ⁿ－1(x＞－2)，n∈N，且n≥2，其导函数记为

(1)求证：f_n(x)≥nx

(2)设，求证：0＜x₀＜1

(3)设函数g(x)＝f₃(x)－f₂(x)，[a，b]，g(x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，求出k的最小值及相应的区间[a，b]．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明， 　　令，则 　　当时，；当时， 　　故在上递减，在(0，)上递增，在处取得最小值 　　所以，即(4分) 　　(2)由，得， 　　所以，，易知(6分) 　　而， 　　由(1)知时，，故 　　所以，，因此(9分) 　　(3)， 　　 　　令，得，， 　　当时，；当时，； 　　当时，， 　　所以当时，为增函数；当时，为减函数； 　　当时，为增函数(11分) 　　下面求出k的最小值及相应的区间 　　(法一)：求直线与曲线在上的交点， 　　解方程组 　　得两交点坐标分别是(0，0)，(，)， 　　当，即时，存在满足条件的区间， 　　因此的最小值为，此时(14分) 　　(法二)：因为在上是增函数，所以必有，即① 　　，即② 　　因为，，所以，若，则，，矛盾 　　所以，，由，知道当时k有最小值为，此时．(14分)