Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（A）=1，sinB=2sin（π-C）△ABC的面积为2

3

，求边长a的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由周期公式可求得T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，又

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，解得A，由sinB=2sinC及正弦定理，得b=2c，由余弦定理解得a²=3c²，由三角形面积公式可求c，从而可求得a．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴由周期公式可得：T=

2π

2

=π．
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调递减区间为：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

，
∵sinB=2sinC，
∴根据正弦定理，得b=2c，
∴由余弦定理，有a²=c²+b²-2cbcosA，即a²=3c²，
∵S_△ABC=

1

2

cbsinA=

1

2

×c×2c×sin

π

3

=2

3

，可解得：c=2，
∴可解得：a=2

3

．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，余弦定理以及三角形面积公式的应用，熟练应用相关公式和定理是解题的关键，属于基本知识的考查．