Question

已知函数f(x)=cos2(x+

π

12

)，g(x)=1+

1

2

sin2x．
（Ⅰ）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）根据二倍角公式进行化简，再由x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴求出x₀的值后代入到函数g（x）中，对k分奇偶数进行讨论求值．
（2）将函数f（x）、g（x）的解析式代入到h（x）中化简整理成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，得到h（x）=

1

2

sin(2x+

π

3

)+

3

2

，然后令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

求出x的范围即可．

解答：解：（I）由题设知f(x)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]．
因为x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以2x0+

π

6

=kπ，
即2x0=kπ-

π

6

（k∈Z）．
所以g(x0)=1+

1

2

sin2x0=1+

1

2

sin(kπ-

π

6

)．
当k为偶数时，g(x0)=1+

1

2

sin(-

π

6

)=1-

1

4

=

3

4

，
当k为奇数时，g(x0)=1+

1

2

sin

π

6

=1+

1

4

=

5

4

．

（II）h(x)=f(x)+g(x)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]+1+

1

2

sin2x
=

1

2

[cos(2x+

π

6

)+sin2x]+

3

2

=

1

2

(

3

2

cos2x+

1

2

sin2x)+

3

2

=

1

2

sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
当2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）时，
函数h(x)=

1

2

sin(2x+

π

3

)+

3

2

是增函数，
故函数h（x）的单调递增区间是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查三角函数的基本性质--单调性、对称性．考查二倍角公式的运用．