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【题目】椭圆的左焦点为且离心率为为椭圆上任意一点,的取值范围为.

(1)求椭圆的方程;

(2)如图,设圆是圆心在椭圆上且半径为的动圆,过原点作圆的两条切线,分别交椭圆于两点.是否存在使得直线与直线的斜率之积为定值?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

【答案】(1);(2)时,直线与直线的斜率之积为定值.

【解析】

1)利用离心率得到的关系;然后表示出,通过的范围得到,由得到,从而求得方程;(2)假设圆的方程,利用直线与圆相切,得到关于的方程,从而得到的表达式,从而得到当时,为定值,求得结果.

(1)椭圆的离心率

椭圆的方程可写为

设椭圆上任意一点的坐标为

椭圆的方程为

(2)设圆的圆心为,则圆的方程为

设过原点的圆的切线方程为:,则有

整理有

由题意知该方程有两个不等实根,设为

时,

当圆的半径时,直线与直线的斜率之积为定值

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(1)已知抽取的名学生中含女生45人,求的值及抽取到的男生人数;

(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整,并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;

(3)在抽取到的45名女生中按(2)中的选课情况进行分层抽样,从中抽出9名女生,再从这9名女生中抽取4人,设这4人中选择“地理”的人数为,求的分布列及期望.

选择“物理”

选择“地理”

总计

男生

10

女生

25

总计

,其中.

0.05

0.01

p>

3.841

6.635

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(Ⅰ)求椭圆的方程;

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