Question

（2006•朝阳区二模）将直线x+

3

y=0绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线与圆（x-2）²+y²=3的位置关系是（　　）

A．直线与圆相离

B．直线与圆相交但不过圆心

C．直线与圆相切

D．直线过圆心

Answer 1

分析：算出x+

3

y=0的斜率，从而得到直线的倾斜角α=150°，按顺时针方向旋转30°后的直线倾斜角为120°，得到
旋转后的直线方程为

3

x+y=0．利用点到直线的距离公式算出已知圆的圆心到直线

3

x+y=0的距离为d=

3

，刚好等于圆的半径，由此可得旋转所得直线与圆（x-2）²+y²=3的位置关系．

解答：解：∵直线x+

3

y=0的斜率k=-

3

3

，∴直线的倾斜角α满足tanα=-

3

3

，
结合α∈[0°，180°），可得α=150°
因此，将直线x+

3

y=0绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线的倾斜角等于120°
斜率变为k'=tan120°=-

3

，
∴旋转后的直线方程为y=-

3

x，即

3

x+y=0
圆（x-2）²+y²=3的圆心为C（2，0），半径r=

3

∵圆心C到直线

3

x+y=0的距离为d=

|2 3 +0|

3+1

=

3

=r
∴所得直线与圆（x-2）²+y²=3相切
故选：C

点评：本题将经过原点的直线旋转，判断旋转所得直线与已知圆的位置关系．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．