Question

17．已知定义在R上的单调递增函数f（x）是奇函数，当x＞0时，$f（x）=\sqrt{x}+1$．
（1）求f（0）的值及f（x）的解析式；
（2）若f（k•4^x-1）＜f（3•4^x-2^x+1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）是R上的奇函数得f（0）=0．
令x＜0，则-x＞0，f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{-x}-1$'由此能求出f（x）的解析式．
（2）利用函数的奇偶性和单调性对不等式进行转化，把恒成立问题转化为最值问题．

解答 解：（1）∵f（x）时R上的奇函数f（-x）=-f（x），∴f（0）=0．
令x＜0，则-x＞0，f（x）=-f（-x）=-$\sqrt{-x}-1$
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-\sqrt{-x}-1，x＜0}\end{array}\right.$
（2）∵f（x）时R上的奇函数，单调递增函数．
∴f（k•4^x-1）＜f（3•4^x-2^x+1）对任意x∈R恒成立?k•4^x-1＜3•4^x-2^x+1
令2^x=t，t＞0，则k•4^x-1＜3•4^x-2^x+1?kt²-1＜3t²-2t⇒k＜$\frac{1}{{t}^{2}}$-$\frac{2}{t}$+3，
$\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{2}{t}+3=（\frac{1}{t}-1）^{2}+2≥2$，
∴k＜2，即实数k的取值范围为：（-∞，2）．

点评 本题考查了函数的解析式的求解，函数不等式恒成立的处理，属于中档题．