Question

13．若函数y=x²-x的图象在点x=2处的切线被圆C：x²+y²=r²（r＞0）所截得的弦长是$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，则r=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程，求出圆心到直线的距离，再由弦长公式可得半径r的值．

解答 解：函数y=x²-x的导数为y′=2x-1，
即有图象在点x=2处的切线斜率为3，切点为（2，2），
则切线的方程为y-2=3（x-2），
即为3x-y-4=0，
圆心（0，0）到直线3x-y-4=0的距离为d=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
由弦长公式可得2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{16}{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
解得r=$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查直线和圆的位置关系，以及弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．