【题目】已知点E(﹣4,0)和F(4,0),过点E的直线l与过点F的直线m相交于点M,设直线l的斜率为k1,直线m的斜率为k2,如果k1k2.
(1)记点M形成的轨迹为曲线C,求曲线C的轨迹方程.
(2)已知P(2,m)、Q(2,﹣m)(m>0)是曲线C上的两点,A,B是曲线C上位于直线PQ两侧的动点,当A,B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
【答案】(1)(x≠)(2)直线AB的斜率为定值,详见解析
【解析】
(1)设点,再利用k1k2求得关于的方程即可.
(2)由∠APQ=∠BPQ可知设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为﹣k,再设直线PA的直线方程与椭圆联立,求得的坐标,再同理求得的坐标,再表达直线AB的斜率进行化简求解即可.
(1)设所求动点A(x,y),由,,得,
又,∴,即(x≠±4).
即点A的轨迹方程为(x≠±4);
(2)当∠APQ=∠BPQ,则PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,
则PB的斜率为﹣k,
直线PA的直线方程为y﹣3=k(x﹣2),
由,整理得(3+4k2)x2+8(3﹣2k)kx+4(3﹣2k)2﹣48=0,
∴,
同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k(x﹣2),
可得.
∴,,
∴,
∴直线AB的斜率为定值.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)若关于的不等式在上恒成立,求的取值范围;
(Ⅱ)设函数,在(Ⅰ)的条件下,试判断在上是否存在极值.若存在,判断极值的正负;若不存在,请说明理由.
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【题目】某次数学知识比赛中共有6个不同的题目,每位同学从中随机抽取3个题目进行作答,已知这6个题目中,甲只能正确作答其中的4个,而乙正确作答每个题目的概率均为,且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.
(1)求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率;
(2)若甲、乙两位同学答对题目个数分别是,,由于甲所在班级少一名学生参赛,故甲答对一题得15分,乙答对一题得10分,求甲乙两人得分之和的期望.
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【题目】如图,在平面四边形中,等边三角形,,以为折痕将折起,使得平面平面.
(1)设为的中点,求证:平面;
(2)若与平面所成角的正切值为,求二面角的余弦值.
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【题目】如图,在三棱柱中,侧面是矩形,,,,且.
(1)求证:平面平面;
(2)设是的中点,判断并证明在线段上是否存在点,使平面,若存在,求点到平面的距离.
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【题目】某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查,得到的统计数据如表所示:
积极参加班级工作 | 不积极参加班级工作 | 合计 | |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性不高 | 6 | 19 | 25 |
合计 | 24 | 26 | 50 |
如果随机调查这个班的一名学生,求事件A:抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率;
若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生,现从中抽取两名学生参加某项活动,请用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果;
在的条件下,求事件B:两名学生中恰有1名男生的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:相切的直线l交椭圆C于A,B两点(O为坐标原点),求△AOB面积的最大值。
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【题目】如图,在三棱锥中,已知都是边长为的等边三角形,为中点,且平面,为线段上一动点,记.
(1)当时,求异面直线与所成角的余弦值;
(2)当与平面所成角的正弦值为时,求的值.
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