Question

7．已知圆C的极坐标方程是ρ=2$\sqrt{2}$•sin（θ+$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（提示：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）=cosαcosβ$\overline{+}$ sinαsinβ
（1）求圆与直线的直角坐标方程．
（2）判断直线l和圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）圆C的方程即ρ=2cosθ+2sinθ，可得圆O 的直角坐标方程为：x²+y²-2x-2y=0，直线l方程即ρsinθ+ρcosθ=4，可得直线l的直角坐标方程为：x+y-4=0；
（2）求出圆心到直线的距离，与半径比较即可得出结论．

解答 解：（1）圆C：ρ=2cosθ+2sinθ，即ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x²+y²-2x-2y=0，
直线l：ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，即ρsinθ+ρcosθ=4，则直线l的直角坐标方程为：x+y-4=0；
（2）由（1）可知，圆心（1，1），半径r=$\sqrt{2}$，圆心到直线的距离d=$\frac{|1+1-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴直线l与圆相切．

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．