Question

某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A₁、B₁、C₁上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有（　　）种．

A．264

B．168

C．240

D．216

Answer 1

分析：由题意知分3步进行，为A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A₄³种选法；在A₁、B₁、C₁中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B₁、C₁，若B₁与A同色，则C₁只能选B点颜色；若B₁与C同色，则C₁有A、B处两种颜色可选．故为B₁、C₁选灯泡共有3种选法，即剩下的两个灯有3种情况，根据计数原理得到结果．

解答：解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，
第一步，A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A₄³种选法；
第二步，在A₁、B₁、C₁中选一个装第4种颜色的灯泡，有3种情况；
第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为B₁、C₁，若B₁与A同色，则C₁只能选B点颜色；
若B₁与C同色，则C₁有A、B处两种颜色可选．
故为B₁、C₁选灯泡共有3种选法，得到剩下的两个灯有3种情况，
则共有A₄³×3×3=216种方法．
故选D．

点评：本题考查两个计数原理，用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．