Question

已知函数.
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）设，其中，判断方程在区间 上的解的个数（其中为无理数，约等于且有）.

Answer 1

（1）时，，时，，时，；（2）方程在区间上存在唯一解.

试题分析：（1）先求出并进行因式分解得到，然后分、、三类进行讨论函数在的单调性，从而确定函数的最小值；（2）设，进而通过求导，由确定函数在的单调性，进而判断两端点函数值是正数还是负数，最终确定函数零点的个数即方程在上的解的个数.
试题解析：（1）由，得或
①当时，，所以故在上是增函数，所以
②当时，时，；时，
所以，在上是减函数，在上是增函数，故
③当时，，所以在上是减函数，故．
综上所述：时，
时，
时，
（2）令　　
由，解得;或
由，　知
故当时，，则在上是增函数
又；
由已知得：，所以，所以
故函数在上有唯一的零点，即方程在区间上存在唯一解.