【题目】已知函数f(x)=loga (a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并说明理由;
(3)当x∈(n,a﹣2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数n,a的值.
【答案】
(1)解:根据题意,函数f(x)=loga (a>0且a≠1)是奇函数,
则有f(x)+f(﹣x)=0,
即loga +loga =0,
则有loga( )( )=0,
即( )( )=1,
解可得:m=±1,
当m=1时,f(x)=loga ,没有意义,
故m=﹣1
(2)解:由(1)可得:m=﹣1,即f(x)=loga ,
设x1>x2>1,
f(x1)﹣f(x2)=loga ﹣loga =loga =loga( ),
又由x1>x2>1,
则0< <1,
当a>1时,f(x1)﹣f(x2)<0,则函数f(x)为减函数,
当0<a<1时,f(x1)﹣f(x2)>0,则函数f(x)为增函数
(3)解:由(1)可得:m=﹣1,即f(x)=loga ,
其定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
当n<a﹣2<﹣1时,有0<a<1,
此时函数f(x)为增函数,有 ,无解;
当1<n<a﹣2时,有a﹣2>1,即a>3,
此时函数f(x)为减函数,有 ,解可得a=2+ ;
故n=1,a=2+
【解析】(1)根据题意,由函数奇偶性的性质可得f(x)+f(﹣x)=0,即loga +loga =0,结合对数的运算性质可得( )( )=1,解可得m的值,验证即可得答案;(2)由(1)可得函数的解析式,设x1>x2>1,结合对数的运算性质可得f(x1)﹣f(x2)=loga( ),分a>1与0<a<1两种情况讨论f(x1)﹣f(x2)的符号,综合可得答案;(3)由(1)可得函数的解析式,进而求出函数f(x)的定义域,分n<a﹣2<﹣1和1<n<a﹣2两种情况讨论,求出a、n的值,即可得答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
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【题目】平面直角坐标系 中,过椭圆 : ( )右焦点的直线 交 于 , 两点, 为 的中点,且 的斜率为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ) , 为 上的两点,若四边形 . 的对角线 ,求四边形 面积的最大值.
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【题目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,E、F分别为A1C1、B1C1的中点,D为棱CC1上任一点.
(Ⅰ)求证:直线EF∥平面ABD;
(Ⅱ)求证:平面ABD⊥平面BCC1B1 .
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【题目】已知函数为奇函数, 为常数.
(1)确定的值;
(2)求证: 是上的增函数;
(3)若对于区间上的每一个值,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放(且)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间 (分钟) 变化的函数关系式近似为,其中.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效去污的作用.
(1)若投放个单位的洗衣液,3分钟时水中洗衣液的浓度为4 (克/升),求的值;
(2)若投放4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?
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【题目】已知四棱锥P-ABCD的体积为,其三视图如图所示,其中正视图为等腰三角形,侧视图为直角三角形,俯视图是直角梯形.
(1)求正视图的面积;
(2)求四棱锥P-ABCD的侧面积.
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【题目】已知二次函数满足: ,且该函数的最小值为1.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)若函数的定义域为(其中),问是否存在这样的两个实数, ,使得函数的值域也为?若存在,求出, 的值;若不存在,请说明理由.
(3)若对于任意的,总存在使得,求的取值范围.
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