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【题目】已知函数f(x)=loga (a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并说明理由;
(3)当x∈(n,a﹣2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数n,a的值.

【答案】
(1)解:根据题意,函数f(x)=loga (a>0且a≠1)是奇函数,

则有f(x)+f(﹣x)=0,

即loga +loga =0,

则有loga )( )=0,

即( )( )=1,

解可得:m=±1,

当m=1时,f(x)=loga ,没有意义,

故m=﹣1


(2)解:由(1)可得:m=﹣1,即f(x)=loga

设x1>x2>1,

f(x1)﹣f(x2)=loga ﹣loga =loga =loga ),

又由x1>x2>1,

则0< <1,

当a>1时,f(x1)﹣f(x2)<0,则函数f(x)为减函数,

当0<a<1时,f(x1)﹣f(x2)>0,则函数f(x)为增函数


(3)解:由(1)可得:m=﹣1,即f(x)=loga

其定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),

当n<a﹣2<﹣1时,有0<a<1,

此时函数f(x)为增函数,有 ,无解;

当1<n<a﹣2时,有a﹣2>1,即a>3,

此时函数f(x)为减函数,有 ,解可得a=2+

故n=1,a=2+


【解析】(1)根据题意,由函数奇偶性的性质可得f(x)+f(﹣x)=0,即loga +loga =0,结合对数的运算性质可得( )( )=1,解可得m的值,验证即可得答案;(2)由(1)可得函数的解析式,设x1>x2>1,结合对数的运算性质可得f(x1)﹣f(x2)=loga ),分a>1与0<a<1两种情况讨论f(x1)﹣f(x2)的符号,综合可得答案;(3)由(1)可得函数的解析式,进而求出函数f(x)的定义域,分n<a﹣2<﹣1和1<n<a﹣2两种情况讨论,求出a、n的值,即可得答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.

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