Question

已知m∈R，函数f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）m=2时，f（x）=2x²-2e^x，f'（x）=4x-2e^x=2（2x-e^x）．
令g（x）=2x-e^x，g'（x）=2-e^x，（2分）
当x∈（-∞，ln2）时，g'（x）＞0，x∈（ln2，+∞）时，g'（x）＜0
∴g（x）≤g（ln2）=2ln2-2＜0．
∴f'（x）＜0．∴f（x）在（-∞，+∞）上是单调递减函数．（4分）
（Ⅱ）①若f（x）有两个极值点a，b（a＜b），
则a，b是方程f'（x）=2mx-2e^x=0的两不等实根．
∵x=0显然不是方程的根，∴有两不等实根．（6分）
令，则
当x∈（-∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（-∞，0），
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
要使有两不等实根，应满足m＞h（1）=e，
∴m的取值范围是（e，+∞）…（12分）
分析：（Ⅰ）把m=2代入可得函数解析式，求导数可得单调区间，进而可得最值，可证f'（x）＜0，可得单调区间；（Ⅱ）可得a，b是方程f'（x）=2mx-2e^x=0的两不等实根，令，求导数可得单调性，进而可得只需m＞h（1）即可，进而可得m的范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，涉及函数的单调性，属中档题．