Question

【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．
（1）求图中a的值；
（2）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16
女			50
合计

（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据频率和为1，列方程得：

（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，

解得a=0.005；

（2）解：由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25；

填写列联表如下，

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16	34	50
女	9	41	50
合计	25	75	100

计算观测值K2= = ≈2.613＞2.072，

对照临界值得，能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；

（3）解：由频率分布直方图知晋级失败的频率视为1﹣0.25=0.75，

故晋级失败的概率为0.75；

从本次考试的所有人员中随机抽取4人，记这4人中晋级失败的人数为X，

则X～B（4， ），且P（X=k）= （k=0，1，2，3，4）；

∴P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，

P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，

P（X=4）= = ；

∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P

X的数学期望为E（X）=4× =3．

【解析】（1）根据频率和为1，列方程求出a的值；（2）由频率分布直方图计算晋级成功的频率，填写列联表，计算观测值K2 ， 对照临界值得出能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由晋级失败的频率估计概率，得X～B（4， ），计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．
【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．