Question

在三棱拄中，侧面，已知，，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）试在棱(不包含端点)上确定一点的位置，使得；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求和平面所成角正弦值的大小.                                    

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）欲证线面垂直，先考察线线垂直，易证，可试证，由题目给条件易想到利用勾股定理逆定理；（Ⅱ）要想在棱找到点，使得，易知，那么这时就需要使，这时就转化为一个平面几何问题：以矩形的边为直径作圆，与的公共点即为所求，易知只有一点即的中点 ，将以上分析写成综合法即可，找到这一点后，也可用别的方法证明，如勾股定理逆定理；（Ⅲ）求直线与平面所成的角，根据其定义，应作出这条直线在平面中的射影，再求这条直线与其射影的夹角（三角函数值），本题可考虑点在平面的射影，易知平面与侧面垂直，所以点在平面的射影必在两平面的交线上，过做的垂线交于，则为所求的直线与平面的夹角.
试题解析：（Ⅰ）因为，，，所以，
，所以
因为侧面，平面，所以，又，
所以，平面                               4分
（Ⅱ）取的中点，连接 ，，，等边中，
同理，， ，所以，可得，所以
因为侧面，平面，所以，且，
所以平面，所以；                                  8分
（Ⅲ）侧面，平面，得平面平面，
过做的垂线交于，平面
连接，则为所求，
因为  ，，所以 ，为的中点 得为的中点，
 ， 由（2）知 ，所以                  13分