【题目】如图,在五棱锥P﹣ABCDE中,△ABE是等边三角形,四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°,G是CD的中点,点P在底面的射影落在线段AG上.
(Ⅰ)求证:平面PBE⊥平面APG;
(Ⅱ)已知AB=2,BC= ,侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°,S△PBE= ,点M在侧棱PC上,CM=2MP,求二面角M﹣AB﹣D的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)取BE中点F,连接AF,GF,由题意得A,F,G三点共线, 过点P作PO⊥AG于O,则PO⊥底面ABCDE
∵BE平面ABCDE,∴BE⊥PO,
∵△ABE是等边三角形,
∴BE⊥AG
∵AG∩PO=O,∴BE⊥平面PAG,
∵BE平面PBE,
∴平面PBE⊥平面APG.
解:(II)连接PF,
∵
又∵∠PAF=45°,∴PF⊥AF,∴PF⊥AF,
∴PF⊥底面ABCDE.
∴O点与F点重合.
如图,以O为原点,分别以 的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系.
底面ABCDE的一个法向量
∵ ,
∴ ,
设平面ABM的法向量 ,
∵ ,
∴ ,∴ ,
∴ ,取 则 ,
∴ ,
∵二面角的法向量 分别指向二面角的内外, 即为二面角的平面角,
∴cos< > = = .
∴二面角M﹣AB﹣D的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)取BE中点F,连接AF,GF,由题意得A,F,G三点共线,过点P作PO⊥AG于O,则PO⊥底面ABCDE,推导出BE⊥PO,BE⊥AG,由此能证明平面PBE⊥平面APG.(II)连接PF,推导出O点与F点重合,以O为原点,分别以 的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系.利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣D的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点,需要掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)= +acosx,g(x)是f(x)的导函数.
(1)若f(x)在 处的切线方程为y= ,求a的值;
(2)若a≥0且f(x)在x=0时取得最小值,求a的取值范围;
(3)在(1)的条件下,当x>0时, .
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【题目】已知向量 ,函数 ,若函数f(x)图象的两个相邻的对称轴间的距离为 .
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若△ABC满足f(A)=1,a=3,BC边上的中线长为3,求△ABC的面积.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (a>0,β为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程ρcos(θ﹣ )= .
(Ⅰ)若曲线C与l只有一个公共点,求a的值;
(Ⅱ)A,B为曲线C上的两点,且∠AOB= ,求△OAB的面积最大值.
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【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|ax﹣2|.
(Ⅰ)当a=2时,解不等式f(x)>x+1;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+f(﹣x)< 有实数解,求m的取值范围.
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【题目】已知f(x)=e ﹣ ,其中e为自然对数的底数.
(1)设g(x)=(x+1)f′(x)(其中f′(x)为f(x)的导函数),判断g(x)在(﹣1,+∞)上的单调性;
(2)若F(x)=ln(x+1)﹣af(x)+4无零点,试确定正数a的取值范围.
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【题目】某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中,现有甲、乙两个建设项目选择,若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如表所示:
ξ1 | 110 | 120 | 170 |
P | m | 0.4 | n |
且ξ1的期望E(ξ1)=120;若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关,在生产的过程中,公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整,两次调整相互独立且调整的概率分别为p(0<p<1)和1﹣p.若乙项目产品价格一年内调整次数X(次数)与ξ2的关系如表所示:
X | 0 | 1 | 2 |
ξ2 | 41.2 | 117.6 | 204.0 |
(Ⅰ)求m,n的值;
(Ⅱ)求ξ2的分布列;
(Ⅲ)若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润,求p的取值范围.
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【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= ,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
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