Question

已知函数f(x)=

3

2

x2+2ax-a2lnx，二次函数g（x）=ax²-2x+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若-（a₁²+a₂²）=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²=a₁a₂（a₁-a₂）²与g（x）在区间（a，a+2）内均为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件知函数f（x）的定义域是（0，+∞），a≠0．由f′(x)=

(3x-a)(x+a)

x

．能讨论讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）由f（x）的定义域为（0，+∞），知a＞0．故a＞

a

3

．由此能够推导出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由条件知函数f（x）的定义域是（0，+∞），a≠0．（2分）
∵f′(x)=

(3x-a)(x+a)

x

．
∴当a＞0时，f（x）在(

a

3

，+∞)上单调递增，
在(0，

a

3

)上单调递减．
当a＜0时，f（x）在（-a，+∞）上单调递增，
在（0，-a）上单调递减．（6分）
（Ⅱ）∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴a＞0．（8分）
故a＞

a

3

，
∴由（Ⅰ）知f（x）在（a，a+2）上单调递增．（10分）
∴g（x）=ax²-2x+1在（a，a+2）上也单调递增，
∴

1

a

≤a．
∴a≥1．（12分）

点评：本题考查二次函数的性质，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意导数的运用．